સામગ્રીનો પરિચય: પ્રકૃતિ અને ગુણધર્મો (ભાગ 1: સામગ્રીનું માળખું)

પ્રો. આશિષ ગર્ગ

ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મટિરિયલ્સ સાયન્સ એન્ડ એન્જિનિયરિંગ

ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજી, કાનપુર

વ્યાખ્યાન – 10

મિલર સૂચકાંકો (વિમાનો અને દિશાઓ)

આ વ્યાખ્યાનમાં અમે મિલર સૂચકાંકો, વિમાનો અને દિશાઓ પર ચર્ચા કરીશું. અગાઉના વ્યાખ્યાનોમાં અમે સ્ફટિકશાસ્ત્ર, જાળીઓ, સ્ફટિક પ્રણાલીઓ, બ્રાવેઇસ જાળીઓ અને સમપ્રમાણતા અને તેમના સહસંબંધના મૂળભૂત તત્ત્વોને સમજ્યા હતા. હવે, આપણે એ સમજવાનો પ્રયાસ કરીશું કે આપણે દિશાઓ અને વિવિધ તબક્કાઓની દ્રષ્ટિએ સ્ફટિકોને કેવી રીતે માપી શકીએ કારણ કે આ નું જ્ઞાન એનિસોટ્રોપીના સહસંબંધને સમજવા માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, સ્ફટિકોમાં વિવિધ ગુણધર્મોના દિશાકીય પ્રતિસાદ. તેથી, જો તમે અમુક ગુણધર્મોને એક દિશામાં માપો છો, તો તે અન્ય દિશાઓથી અલગ છે, અને આ યાંત્રિક ગુણધર્મો, વિદ્યુત ગુણધર્મો, થર્મલ ગુણધર્મો અને અન્ય ચુંબકીય ગુણધર્મો વિશે સાચું છે.

તેથી, ગુણધર્મોને દિશાઓ સાથે સંબંધિત કરવા માટે, તમારી પાસે સ્ફટિકની દિશાઓ અને વિમાનોનું પ્રમાણ નક્કી કરવાની પદ્ધતિ હોવી જરૂરી છે, અને ત્યાં જ મિલર સૂચકાંકોનો આ ખ્યાલ ચિત્રમાં આવે છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 01:32)

હું અહીં એક સરળ સમાંતર દોરું છું. તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે આ પરમાણુઓ વચ્ચેનું વિભાજન અથવા અંતર કંઈક બીજું છે તે આપણને મૂળ ૨ દ્વારા કહેવા દો. તેથી, જુદા જુદા પરમાણુઓ એકબીજાના સંદર્ભમાં અલગ અલગ અંતર ધરાવે છે તે જોતાં. ગુણધર્મો પણ જુદી જુદી દિશામાં બદલાય છે. તેથી, જો હું આ દિશામાં થોડો પ્રતિસાદ માપીશ, તો તે બીજી દિશામાં માપવામાં આવેલા પ્રતિસાદથી અલગ છે. તેથી, તેથી જ આપણે સમજવાની જરૂર છે કે આ દિશા શું છે. એ જ રીતે, તમે જોઈ શકો છો કે સ્ફટિકના વિવિધ ચહેરાઓ વિવિધ પરમાણુ ઘનતા ધરાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, આ ચહેરા પર આ ચાર પરમાણુઓ અમુક અંતરે સ્થિત છે, જો હું આ ચહેરો બનાવું છું, તો આની ઘનતા અલગ છે, તેમાં ફરીથી સમાન સંખ્યામાં પરમાણુઓ છે, પરંતુ તેની ઘનતા જુદી છે. જ્યારે તમે એફસીસી અને બીસીસી માળખામાં જશો ત્યારે તે બદલાશે. ઉદાહરણ તરીકે, આ ચહેરાની ઘનતા અલગ હોય છે. પરિણામે, તેમનો પ્રતિસાદ અલગ હશે કારણ કે તેમની વચ્ચે પરમાણુઓની અલગ જગ્યા હોય છે, અને આ દિશાઓમાં અલગ રીતે પેક કરવામાં આવે છે. તેથી, તેથી જ આ વસ્તુઓનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે એક સિસ્ટમ વિકસાવવી જરૂરી છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 04:11)

મિલર સૂચકાંકો વિલિયમ હોલવેઝ મિલર નામની વ્યક્તિના નામે છે, જેમણે આ શબ્દ ની સ્થાપના કરી હતી, અને તેથી જ આને મિલર સૂચકાંકો કહેવામાં આવે છે. ક્રિસ્ટલોગ્રાફિક વિમાનો સ્ફટિકોના પાસાંઓ સિવાય બીજું કશું નથી, તમે કહી શકો છો કે સ્ફટિકોના પાસાઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે, તેથી, આ ઓળખવા માટે છે કે તેમને એક વિમાન માટે (એચ કે એલ) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો કે, તે એક સ્ફટિક માળખા પર આધારિત સમાન વિમાનોના સમૂહ માટે હોઈ શકે છે, પછી તે ફક્ત ઘન હોય કે પછી તે ટેટ્રાગોનલ હોય. તેથી, તમે ટેટ્રાગોનલ માટે સમાન અર્થ લખી શકશો નહીં.

બીજી વસ્તુ સ્ફટિકમાં વિવિધ પરમાણુ દિશાઓમાં સ્ફટિકીય દિશાઓ છે, અને આને [યુ વી ડબલ્યુ] તરીકે દર્શાવવામાં આવી છે, અને <ઉ વિ ડબલ્યુ> દિશાઓના સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ફરીથી વિમાનોની જેમ, તે સ્ફટિકની રચના પર નિર્ભર છે, અને અહીં એચ, કે, એલ અને તમે, વી, ડબલ્યુ ઇન્ટેજર્સ છે, અને તે હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 07:28)

જ્યાં એક્સ-એક્સિસ પર વિમાનના ઇન્ટરસેપ્ટ પર એચ/એ ઇન્ટરસેપ્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યાં એચ/બીને વાય-એક્સિસ પર આંતરવામાં આવશે, એલ/સી ઝેડ-એક્સિસ પર આંતરવામાં આવશે. અને એ, બી, સી એ જાળીના પરિમાણોની એકમ કોષ લંબાઈ છે. અને એચ, કે, એલ મિલર સૂચકાંકો છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 09:03)

ચાલો આપણે કહીએ કે, મારી પાસે આ પ્રકારનું સમાંતર ગ્રામ છે, ચાલો આપણે કહીએ કે આ મૂળ છે અને હું આને એ, 2એ, 3એ વગેરેના કેટલાક ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરું છું. તેથી, આ 4એ, 6એ અને આ 2એ હશે. તેથી, મારી પાસે એક શરીર છે જે કંઈક એવું છે, અને જો હું આને જોડાઉં તો, આ મારું વિમાન છે. તેથી, હું જોઈ શકું છું કે મારા યુનિટ સેલ પરિમાણો એટલા છે, એક ૪એ બરાબર છે, બી ૮એ બરાબર છે, અને સી ૩એ બરાબર છે. અપૂર્ણાંક ઇન્ટરસેપ્ટ્સ શું છે?

તેથી, એક્સ સાથે અપૂર્ણાંક ઇન્ટરસેપ્ટ 2એ છે આ સાથે એક્સ છે, વાય તે 8એ દ્વારા વિભાજિત 6એ છે, અને ઝેડની સાથે, તે 3એ દ્વારા વિભાજિત છે. તેથી, આ 1 ઓવર 2 છે, આ 3 ઓવર 4 છે, અને આ 1 છે. તેથી, હવે, તમારે આને પારસ્પરિકમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. પ્લેન ઇન્ડેક્સ ( એચ કે એલ) ઇન્ટેજર્સ હોવા જોઈએ. તેથી, તમારે આને ઇન્ટેજર્સના નાનામાં નાના સમૂહમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. તો, જો તમે આને ઇન્ટેજર્સના નાનામાં નાના સેટમાં રૂપાંતરિત કરો છો, તો તમને શું મળે છે? તમને 6, 4 અને 3 મળે છે. તો, આ વિમાન (6 4 3) છે. આ રીતે તમે આપેલા વિમાનના મિલર સૂચકાંકો નક્કી કરો છો. એ જ રીતે, ચાલો આપણે આ વિમાન કહીએ તે જ કસરત કરીએ.

(સ્લાઇડ સમય સંદર્ભ આપો: 14:05)

એકમ કોષના વિમાનને નક્કી કરવાની પ્રક્રિયામાં મૂળને વ્યાખ્યાયિત કરવું, ઇન્ટરસેપ્ટ્સ નક્કી કરવા, પારસ્પરિક લેવું અને પછી ઇન્ટેજર્સના નાનામાં નાના સમૂહમાં રૂપાંતરિત કરવું શામેલ છે. ઇન્ટેજર્સનો નાનો સેટ શા માટે? કારણ કે જો તમે (0 1 0) અને (0 2 0) સમાંતર વિમાનો જુઓ, તો એક એકમ કોષના અડધા અંતર પર છે; બીજું એકમ કોષના સંપૂર્ણ અંતરપર છે. તેથી, એચ કે એલ અને 2એચ, 2હજાર, 2એલ, અને 3એચ, 3હજાર, 3એલ વિમાનોનો એક જ સમૂહ છે, અને તે એકબીજાની સમાંતર છે, તે ફક્ત એટલું જ છે કે તેમની વચ્ચેનું અંતર અલગ છે.

(સ્લાઇડ સમય સંદર્ભ આપો: 15:45)

હું તમને (૧ ૨ ૩) દોરવા નું કહું છું, હું એકમ સેલ દોરું છું, અને મૂળની પસંદગી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તો, જો તમારી પાસે (1 2 3), તો તમે મૂળ કેવી રીતે પસંદ કરો છો? તમે જોઈ શકો છો કે એચ ઇન્ટરસેપ્ટ હકારાત્મક એક્સ-દિશામાં હોય છે જ્યારે તમારી પાસે કોઈ નકારાત્મક ન હોય ત્યારે સામાન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, જો તમારી પાસે નકારાત્મક ચિહ્ન સાથે (એચ કે એલ) હોય, તો તે હશે ). તેથી, તેનો અર્થ એ છે કે જો તમારી પાસે 1 હોય, તો તમે તમારા ઇન્ટરસેપ્ટને હકારાત્મક એક્સ-ડાયરેક્શન સાથે ખસેડી રહ્યા છો, 2 નો અર્થ એ છે કે અડધું ઇન્ટરસેપ્ટ હકારાત્મક વાય-ડાયરેક્શન સાથે છે, અને 3નો અર્થ છે પોઝિટિવ ઝેડ-ડાયરેક્શન સાથે ઇન્ટરસેપ્ટનો એક તૃતીયાંશ ભાગ.

તેથી, જે મૂળે તમામ 3 દિશાઓને સંતોષી છે તે આ મૂળ છે. તેથી, જો હું આને મૂળ ઓ તરીકે પસંદ કરું છું, તો એક્સ-એક્સિસ સાથે મારો ઇન્ટરસેપ્ટ ૧ છે. તેથી ૧, ૨, ૩ હોવું જોઈએ તેથી તમે ૧, ૨, ૩ પરાસ્પરિક ૧, ૧/૨ અને ૧/૩ લો. તેથી, આ પારસ્પરિક છે અને પછી તેમને એકમ સેલમાં ઇન્ટરસેપ્ટ તરીકે મૂકો.

દરેક ક્રમિક (2 4 6) વિમાનને દરેક ક્રમિક (1 2 3) વિમાનની તુલનામાં નજીક ખસેડવામાં આવશે. તેથી, તે વિમાનોઅથવા વિમાનોના સમૂહ સિવાય બીજું કશું નથી જે એકબીજાની સમાંતર છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 19:48)

હવે, આપણે કહીએ કે હું એક વિમાન દોરવા માંગુ છું જે નકારાત્મક રસ સૂચકાંકો ધરાવે છે. તેથી, હું એકમ સેલ દોરું છું ચાલો આપણે કહીએ કે મારે દોરવું છે . તેથી હું મારું મૂળ અહીં શિફ્ટ કરું છું, હું હકારાત્મક એક્સમાં જઈ શકું છું, અને જો હું તે દિશામાં જાઉં તો હું નકારાત્મક રીતે જાઉં છું, અને આ એકમ સેલની અંદર હોવું મહત્વપૂર્ણ છે. તેથી, જો હું એવું કરું છું કે આ એક્સ પરઇન્ટરસેપ્ટ છે, તો આ માઇનસ વાય પરઇન્ટરસેપ્ટ છે, અને ઝેડ પર કોઈ ઇન્ટરસેપ્ટ નથી, જેનો અર્થ એ છે કે તે ઝેડની સમાંતર છે, તે અનંત છે. તેથી, વિમાન આ હશે અને તેથી, આ જ હશે . તેથી, તમે હવે ઘરે કસરત કરી શકો છો. તેથી, હું હમણાં જ આ કિસ્સામાં છેલ્લી કસરત કરીશ.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 22:00)

હું એક યુનિટ સેલ દોરું છું જે ફક્ત એક છેલ્લું પ્રદર્શન કરે છે અને તમને કેવી રીતે શોધવું તે શોધવામાં મદદ કરવા માટે, હવે આપણે કહીએ કે હું રેન્ડમ પ્લેન દોરું છું મને એક પસંદ કરવા દો. તેથી, હું આ મુદ્દાને જોડાઉં છું, આ મુદ્દો અને આ મુદ્દો એ છે કે તે કાયદેસર વિમાન છે, એક્સ ની સાથે ઇન્ટરસેપ્ટ કરો, તમારી સાથે ઇન્ટરસેપ્ટ કરો અને ઝેડ સાથે ઇન્ટરસેપ્ટ કરો.

તો, હવે તમે મૂળ કેવી રીતે પસંદ કરો છો? તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે અહીં યુક્તિ એ છે કે આપણે એવું કહીએ, આ અડધું બરાબર છે આ તે અડધું છે. તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે જો તમે આ પસંદ કરો છો તો આ બિંદુ અહીંથી માઇનસ અડધા એક્સના અડધા ભાગમાં સ્થિત છે, આ એક્સની સાથે -1/2, -1/2 પર સ્થિત છે, અને આ ઝેડ ની સાથે 1/2 છે. જો તમે પારસ્પરિક લો છો, તો આ -2, -2, 2, અથવા આ સિવાય બીજું કંઈ નથી .

તો, 1, બાર 1, 1 પ્લેન શું છે? મૂળભૂત રીતે ૧ બાર ૧ વિમાન આ હશે અને જો હું આને એક સમાંતર વિમાન સિવાય બીજું કશું નહીં, પરંતુ સમાંતર વિમાન મૂકું, પરંતુ જો તમારે આ લાલ વિમાન નક્કી કરવું હોય, તો આ ૧ કાયદેસર વિમાન છે તેમજ તમારી પાસે અહીં પરમાણુ પણ હોઈ શકે છે. તેથી, તે કરવાની એક રીત એ છે કે તમે તે આ રીતે કરો છો, અથવા તે કરવાની બીજી રીત સમાંતર વિમાન દોરીને હોઈ શકે છે જેથી તમે એક મૂળ પસંદ કરી શકો જે એક ખૂણા પર સ્થિત છે, જેનો અર્થ એ છે કે તમારે સમાંતર વિમાનોને વધુ એક સમાંતર વિમાન દોરવું પડશે. તેથી, તે આ ફેશનમાં સમાપ્ત કરવાને બદલે, તે અહીં સમાપ્ત થાય છે. તેથી, આ સિસ્ટમની બહાર જશે.

તેથી, આ કંઈક એવું છે જે તમે વિમાનો નક્કી કરવા માટે કરો છો અને વિમાનો વચ્ચેના અંતર વિશે જાણવાની જરૂર છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 26:00)

કારણ કે વિમાનો વચ્ચે ઘન સિસ્ટમ સ્પેકિંગ આપવામાં આવે છે, ડી_{એચ.કે.એલ.},

ક્યાં એ જાળીનું પરિમાણ છે, અને એચ, કે, એલ મિલર સૂચકાંકો છે. તો, આ વિમાનો વચ્ચે નું અંતર શું છે અથવા તમે આ મેળવી શકો છો તે 1 0 0 પ્લેન અને 0 1 0 પ્લેન છે, આ બંને વચ્ચેનું અંતર છે એ.

તેથી, આ રીતે તમે વિમાનના અંતરને નક્કી કરી શકો છો, અને તમે એ પણ શોધી શકો છો કે વિવિધ વિમાનો જુદા જુદા ખૂણાઓ પર છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 27:50)

જો હું તે બંને વચ્ચેના ખૂણા વચ્ચે ગણતરી કરવા માંગું છું, તો ખૂણો cosθ તરીકે આપવામાં આવે છે,

આને ઇન્ટરપ્લેનર એંગલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ ફક્ત ઘન પ્રણાલીઓ માટે છે. બાય ધ વે, ટેટ્રાગોનલ અને ઓર્થોર્હોમ્બિક સિસ્ટમ્સ માટે, સંબંધો અલગ છે. આગામી વ્યાખ્યાનમાં હવે આપણે દિશાનિર્દેશો માટે મિલર સૂચકાંકો વિશે ચર્ચા કરીશું.

આભાર.